Poissonverdeling en Wachttijd 

Wisnet-hbo  

update febr. 2008 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( 

of 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(

 

Poisson 

De kansvariabele k is het aantal successen of registraties gedurende een bepaald (tijds)interval.
De grootheid Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( wordt ook wel μ genoemd en is het verwachte aantal registraties (per interval).
 

De berekening kan met de rekenmachine gedaan worden, maar voor bepaalde waarden van μ kan deze ook uit de Poisson-tabel worden afgelezen. 

Voorbeeld 1 

Bij een bushalte komen per minuut k pasagiers aan.
We veronderstellen dat
k Poisson verdeeld is met μ = 1.25.
Hoe groot is de kans dat in een willekeurige minuut precies 3 pasagiers arriveren?
 

oplossing vb 1 

Voorbeeld 2 Verwachtingswaarde 

Bij een bushalte komen per minuut k pasagiers aan.
We veronderstellen dat
k Poisson verdeeld is met μ = 1.25.
Deze waarde van μ is meteen in feite ook de verwachtingswaarde.
Er komen dus eigenlijk gemiddeld 1.25 passagiers per minuut aan.
 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( 

Voorbeeld 3 Variantie en standaarddeviatie 

Vergelijk de kansverdeling van Poisson met die van de Binomiale verdeling. 

Bij de Binomiale kansverdeling is de kans op succes gelijk is aan π.
Bij
n pogingen is de verwachtingswaarde dus n π.
Bij de
Binomiale verdeling is de Variantie gelijk aan Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(.
Gemakkelijk is in te zien dat als de kans op succes (π) extreem klein is, dat je dan voor Typesetting:-mrow(Typesetting:-mn(ook wel 1 kunt schrijven.
 

Bij Poisson is in feite de kans op succes vaak erg klein dus de Variantie kan gelijkgesteld worden aan de verwachtingswaarde. 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( 

De standaarddeviatie bij Poisson is dus  

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( 

Voorbeeld 4 Somregel 

Bij een bankkantoor komen per kwartier gemiddeld 3 klanten binnen.
Hoe groot is de kans dat in een half uur precies vier klanten binnenkomen?
 

oplossing vb 4 

Voorbeeld 5 Normale benadering 

Als de verwachtingswaarde niet meer heel klein is, gaan we over op de normale benadering als Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(.
Een aantal telefoongesprekken dat binnenkomt op een centrale is Poisson-verdeeld met een gemiddelde van 2 per minuut.
Hoe groot is de kans dat er meer dan 140 gesprekken in een uur binnenkomen?
 

oplossing vb 5 

Wachttijd 

Bij de Poissonverdeling tellen we het aantal successen of registraties gedurende een bepaald (tijds)interval.
Bij het binnenkomen van klanten in een winkel zou men ook een verwant probleem kunnen bestuderen, namelijk hoeveel tijd verstrijkt er tussen twee binnenkomsten van opeenvolgende klanten?
 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( 

Deze formule is rechtstreeks af te leiden uit de formule van Poisson als je stelt dat er in een tijd t een aantal van 0 klanten komen bij een verwachtingswaarde van λ klanten per tijdseenheid. 

Voorbeeld 6 (wachttijd minimaal) 

De klanten van een winkel komen volgens een Poissonverdeling de winkel binnen met een gemiddelde van 30 per uur.
Hoe groot is de kans dat tussen twee binnenkomsten
meer dan vijf minuten verstrijken? 

oplossing vb 6 

Voorbeeld 7 (wachttijd maximaal) 

De klanten van een winkel komen volgens een Poissonverdeling de winkel binnen met een gemiddelde van 30 per uur.
Hoe groot is de kans dat tussen twee binnenkomsten
minder dan vijf minuten verstrijken? 

oplossing vb 7 

Voorbeeld 8 (wachttijd interval) 

De klanten van een winkel komen volgens een Poissonverdeling de winkel binnen met een gemiddelde van 30 per uur.
Hoe groot is de kans dat tussen twee binnenkomsten
minder dan vijf minuten en meer dan 4 minuten verstrijken? 

oplossing vb 8 

Voorbeeld 9
(verwachtingswaarde van de wachttijd)
 

Als de verwachtingswaarde λ = 30 klanten per uur is, dan kun je dat vertalen naar een wachttijd van Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( uur voordat de volgende klant komt.
De verwachtingswaarde van de wachttijd
t is dus Typesetting:-mrow(Typesetting:-mfrac(Typesetting:-mn( uur = 2 minuten.